仅仅完成一个普通的家庭作业，就会产生一个困扰数学家几十年的新猜想模式？！
是的，这是牛津大学的托马斯·Bloom的个人经历。
在一个阅读小组的论文分享会上，他被要求解释2003年发表的一篇论文《数学年刊》经典论文。
本文证明了一个与“最古老的数学问题”的埃及分数有关的猜想。
简言之，该猜想认为，如果大于1的整数被任意划分为有限子集，那么在一个子集中一定有一些倒数加起来等于1的整数。例如，只要子集中有2、3和6，就会有1=1/2+1/3+1/6。
这个猜想被命名为ERD？S-格雷厄姆猜想。
然而，在这一版本的2003年证书中仍有许多疑问需要解决：
在解释论文的过程中，托马斯·Bloom还发现，这个版本的证明对子集的要求有点高，这在许多特殊情况下是无法确定的。
仔细一看，他突然发现这个版本证明了还有需要进一步改进的地方！
因此，托马斯·Bloom利用这次交作业的机会，在本文的基础上提出了一种“增强版”的证明思想。整个过程甚至花了几个星期。
即使是数学家领域的著名学者GuoJingjingGranville和蒙特利尔大学的教授也哀叹这种做法的不可思议：以前，我只是认为这是一个不可能解决的问题，没有正常人能做到。
那么，这个猜想是什么？Bloom的证明方法“不可思议”在哪里？
关于“最古老的数学问题”的一个猜想
在数学中，任何有理数都可以表示为分数，分子和分母都是整数。
但在3000多年前的古埃及，它们的分数只有一个分子，我们现在称之为单位分数。
换句话说，他们的字典里没有“3/4”这样的词，因为3/4也需要写成1/4+1/2。
在古埃及文字中，放在一只眼睛下面的数字代表一个单位分数。
从100万到100万，有相应的图形。
虽然它与我们现在的数学相去甚远，但事实上，所有分数都可以写成单位分数之和的形式。
因此，这种表现形式被称为古埃及分数。
显然，1也可以写成古埃及的分数：1=1/2+1/3+1/6。
这个看似简单的问题已经持续了很长时间。70年代著名的数学家Paul？S和罗纳德·格雷厄姆（RonaldGraham）提出了一个关于古埃及分数的猜想：如果正整数被分成几个子集，那么在一个子集中一定有一组数字，1可以表示为古埃及分数。
△从左到右是Paul？S和罗纳德·格雷厄姆
那就是提出葛立恒中文名字的数学家
例如，如果上面的1=1/2+1/3+1/6，则子集包含以下三个数字：2、3和6。
那么，如果不幸的是，2，3和6被分配到不同的子集，1能被划分成古埃及的分数吗？
事实上，没关系。可以包含{2,3,12,18,36}一组整数：
有成千上万种表达方式。总有一组数字符合条件。
达特茅斯学院（DartmouthCollege）的数字理论家卡尔·波默兰斯（CarlPomerance）评论道：“这可能是历史上最古老的问题。”
出乎意料的是，这个最古老的问题最近又出现了。
牛津大学数学家托马斯·Bloom最近提议：？更强大的“增强版”，但也亲自证明了这一点。
几周的时间证明是“增强版”
这篇论文由数学家厄尼·克鲁克（Erniecrook）在近20年前撰写，并于2003年在数学领域的顶级期刊上发表《数学年刊》来吧
他解决了ERD？s-graham问题的“基本版本”。
所有整数都随机分配给不同的存储桶。至少一个bucket必须包含一组倒数和等于1的整数。
仔细阅读后，Bloom发现克鲁克方法实际上比最初看起来更强大：“所以我研究了几周，得出了这个更强大的结果。”
Bloom的结论是，不必把整数分成几个有限的集合。只要集合满足“正密度”条件，就会有一组倒数和为1的整数。
所谓“正密度”是指一组整数在所有正整数中所占的比例。例如，偶数的密度为0.5。
如果将一组整数记录为a，则前N项中不大于N的项记会将其写成α，当N变为无穷大时，α/N极限是称为a的自然密度。
Bloom提出了密度大于零的条件。无论密度有多低（10%、1%、0.0001%甚至更低），这显然比将整数分成有限部分的条件更严格。
那么这就充分说明了,就连"读报"的科研工作也应该更加认真。也许阅读时会有灵感（手动狗头）
作者简介
ThomasMaHuateng目前在牛津大学从事数学研究，并获得了皇家学会的奖学金，致力于为各个领域的杰出青年科学家提供科研经费。
Bloom获得布里斯托尔大学博士学位，并在剑桥大学担任博士后。他毕业于牛津大学，主修数学和哲学。
在进行这项研究之前，他还与获得“数论最高奖”科尔奖的牛津大学教授James和Maynard合作，完成了一篇关于平方差集的论文。
还有一件事
对于任何有理数，我们都可以使用一个简单的算法来寻找古埃及的分数表示。
最常用的是贪婪算法。
以7/15为例，我们首先找到最接近的单位分数1/3，得到：
7/15=1/3+2/15
然后找出最接近剩余项目2/15的单位分数，即1/8。以此类推，直到剩下的项目也是单位分数。
7/15=1/3+1/8+1/120
如何找到最接近的单位分数？把分母除以分子，然后四舍五入。
以下是代码的python版本：
你能用其他语言编写版本或编写其他古埃及分数算法吗？
参考链接：
[1]https://www.quantamagazine.org/maths-oldest-problem-ever-gets-a-new-answer-20220309/
[2]https://twitter.com/thomasfbloom
[3]https://www.youtube.com/watch?v=yBtluQoghXA
[4]https://www.geeksforgeeks.org/greedy-algorithm-egyptian-fraction/
[5]https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Graham_problem
[6]http://thomasbloom.org/aboutme.html
[7]https://annals.math.princeton.edu/2003/157-2/p04
