-
1/x + 1/y = 2/23
23x + 23y = 2xy
2xy-23x-23y=0
4xy-46x-46y=0
4xy-46x-46y+529=529
(4xy-46x)-(46y-529)=529
2x(2y-23)-23(2y-23)=529
(2x-23)(2y-23)=1*529=-1*-529=23*23=-23*-23
(1)
2x-23=1,2x=24,x=12
2y-23=529,2y=552,y=276
(2)
2x-23=-1,2x=22,x=11
2y-23=-529,2y=-506,y=-253
(3)
2x-23=23,2x=46,x=23
2y-23=23,2y=46,y=23
(4)
2x-23=-23,2x=0,x=0
2y-23=-23,2y=0,y=0
经检验,x1=12,y1=276;x2=11,y2=-253;x3=23,y3=23是原方程的解。交换xy还可以得到两组解。
-
不需要通分,1/23 + 1/23 = 2/23,这是小学的解法。
如果要求所有答案,就是中学的内容了。
1/x + 1/y = 2/23,23x + 23y = 2xy;
这是不定方程,有无数组解。若求正整数解,则
x = ( 2x - 23 )/23 * y 是正整数,( 2x - 23 )/23 是正整数
即 2x/23 - 1 是正整数,则 x = 23k,k是正整数。
将 x = 23k 代入方程
46ky - 23y = 23^2k, ( 2k - 1 )y = 23k,y = 23k/( 2k - 1 ) 是整数;
即 2y = ( 46k - 23 )/( 2k - 1 ) + 23/( 2k - 1 ) = 23 + 23/( 2k - 1 ) 是正整数
故 k = 1 或 12,原式有2个正整数解 。
于是,x = 23k = 23 或 276,y = [ 23 + 23/( 2k - 1 ) ]/2 = 23 或 12;
验证:1/23 + 1/23 = 2/23; 1/276 + 1/12 = 1/276 + 23/276 = 24/276 = 2/23 。
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